Poate cineva sa ma ajute cu niste probleme de la polinoame?
1) Sa se determine toate valorile lui m din R pentru care ecuatia admite numai radacini reale:
X^4+X^3-2x^2+3mX-m^2=0

2) Sa se determine toate valorile lui a si b din R pentru care ecuatia are cel mult doua radacini reale:
X^4+3X^3+6X^2+aX+b=0

3) Sa se determine m din R pentru care ecuatia are doua radacini reale, distincte, negative:
X^4-(2^m-1)X^3+2^mX^2-(2^m-1)X+1=0


Am incercat cu relatiile lui Viette, am scris diferente de patrate punand conditia sa fie mai mari ca 0 (pentru problema 1 cand toate radacinile sunt reale) pana am ajuns la ceva intervale dar nu am reusit sa gasesc valoarea exacta a parametrului.

Problemele cam seamana intre ele. Daca nu aveti timp macar la una va rog sa ma ajutati ca peste o sapt am admiterea si la astea nu am idee cum sa le rezolv. Va multumesc. :D

La problema 1)folosesti urmatoarea scriere echivalenta:x^4 + x^3 + 1/4x^2-
-(m^2 - 3mx +9/4x^2)=0.Se obtin astfel doua patrate perfecte...faci diferenta de patrate...pui conditia delta mai mare sau egal cu zero la fiecare.

La 3) intra aici...[url]http://www.pro-didactica.ro/probleme/browserez.php?t1=Algebra&t2=Polinoame&t3=Ecuatii%20algebrice%20de%20grad%20superior&order=dificultate&ordine=ASC&start=5

Solutia este mai sus. Nu doresc sa o dublez, dar acesta este unul din cazurile in care este poate util sa folosim computerul pentru a avea solutia. (Computerul factorizeaza in locul nostru de exemplu.)

Folosesc sage, program liber.
Pentru (1) si (3) mi-am definit variabile intai, cerand apoi factorizarea unor expresii in ele:

sage: var( 'm,X,a' )
(m, X, a)
sage:
sage: factor( X^4 + X^3 - 2*X^2 + 3*m*X - m^2 )
(X^2 - X + m)*(X^2 + 2*X - m)
sage:
sage: factor( X^4 - a*X^3 + (a+1)*X^2 - a*X + 1 )
(X^2 - X + 1)*(X^2 - X*a + X + 1)

(1)
Nota: Tehnica de factorizare "bruta" la (1) ar putea merge si prin a considera expresia data ca o expresie in m, dam de o functie de gradul doi de discriminant polinom de X in care dam factor comun un X patrat imediat...
sage: D = (3*X)^2 - 4*(-1)*( X^4 + X^3 - 2*X^2)
sage: D . factor()
(2*X + 1)^2*X^2
si calculam imediat radacinile m1,m2 in functie de X.
La (1) verdictul este clar, tinand cont de faptul ca
XX - X + 1/4 si
XX + 2X + 1
sunt patrate perfecte, iar daca "umblam" la coeficientul liber pierdem radacinile reale daca il facem mai mare. Astfel:
m este mai mic 'au egal cu 1/4 pentru ca primul factor sa posede solutii reale,
-m este mai mic sau egal cu 1 pentru ca primul factor sa posede solutii reale.
Deci m se plimba in intervalul inchis [ -1 , 1/4 ] .

O mica verificare: Pentru m=0 obtinem patru solutii reale (considerand si multiplicitatile conrespunzator), anume -2, 1, 0, 0 .

(3)
Am notat cu a acel lucru care intervenea prea des prin zona. Daca nu stim sa factorizam, atunci trebuie sa observam ca ecuatia data este simetrica, impartim fortat cu ( X patrat ) si incercam sa substituim t = (X + 1/X). N-or sa apara decat t patrat, t si ceva constante. Dam deci de o ecutie de gradul doi in t. Daca avem acolo o descompunere pentru polinomul final in t, desigur ca avem si initial una (in X).
Tema de casa: Care este solutia?

(2)
Pentru punctul (2) cel mai bine este sa trecem cu analiza matematica prin problema probabil.

Solutia pe scurt: Deoarece derivata a doua a funtiei de studiat este >0, functia data este convexa pe IR, are deci cel mult doua radacini reale.
Deci oricum luam a,b, in IR avem noroc de solutie.

Solutia mai pe larg.
Cum arata un grafic grosier al functiei de gradul patru in general?
Este un fel de U spre plus infinit, respectiv minus infinit, dar intre timp mai poate sa aibe
- fie un minim (local)
- fie doua minime locale si un maxim local intre ele.
Acest lucru este controlat de radacinile primei derivate, un polinom de grade trei cu o radacina reala sau cu trei. Cum arata acest polinom de grad trei in cazul nostru? Avem de lucru cu:

Am fost obligat sa consider deci si a doua derivata, lucru pe care am incercat sa-l explic in prealabil.
Deci f'' > 0 pe IR.
Deci f' este o functie strict crescatoare, "pleaca de la minus infinit pentru argument la minus infinit" si tinde la plus infinit pentru argument ce tinde la plus infinit". Ea va lovi axa Ox intr-un punct unic,

radacina lui f' pe care o notez cu r(a), deoarece depinde de a.

Semnul lui f' a fost deci clarificat, minus pe ( minus infinit, r(a) ) si respectiv plus pe ( r(a) , plus infinit ), deci stim ceva despre monotonia lui f.
Anume f este descrescatoare pana la r(a) si crescatoare de la r(a) incolo.

Rezulta ca f are cel mult doua radacini reale, Mai exact:

f nu are radacini reale daca f( r(a) ) > 0 ,

f are doua radacini reale egale cu r(a) (deci are una cu multiplicitate doi pentru unii) daca f( r(a) ) = 0

f are exact doua radacini reale daca f( r(a) ) < 0 ,


Exemplu: Daca a = 12, b = 8, atunci functia arata in modul urmator:

Tema de casa: Care sunt radacinile reale ale polinomului plotat, care sunt celelalte doua (radacini complexe) ?