Fie

o multime nevida si finita de matrici inversabile,stabila fata de inmultirea matricelor.

Sa se arate ca:

Marturisesc ca orice idee mi-ar prinde bine,asta fiind una dintre problemele la care am zero idei,sau oricum orice idee am (polinom caracteristic,inmultirea la stanga si la dreapta cu matrice+inversa,morfism) mi se pare falimentara...

Cateva intrebari mai intai:

Matricile date iau valori din corpul numerelor complexe (sau al altui corp de caracteristica zero, de preferinta comutativ, in care am scufundat canonic numerele intregi) sau poate din corpul cu doua elemente (si atunci nu prea stiu ce inseamna apartenenta unui numar din acest corp la IN) ?

Matricea identitate este in multimea de matrici G data? (De ce noteaza "astia" asa ceva cu G?)

Matricea inversa a unei matrici din G este in G?

Este G un grup cu inmultirea matricilor?

Fie B in G o matrice fixata. Atunci aplicatia din G in G ce duce A in AB "este o aplicatie de permutare" a lui G.

Fie x determinantul de studiat. Ce se poate spune despre xx folosind formula de multiplicativitate a determinantului det(AB) = det(A) det(B) ?

Ce valori poate lua x (stiind ordinul lui G si marimea matricilor) ?

Intrebari facultative:

Daca matricile sunt date peste un corp k arbitrar ce valori poate lua "x-ul de mai sus" (in subcorpul prim al lui k) ?

Exista un exemplu in care determinantul este nenul pentru o valoare fixata a numarului de elemente din M, de exemplu 1 si/sau 2 si/sau 3 si/sau 6 si/sau 1000 si/sau 1001? (Eu accept si matrici 1x1...)

Cred ca trebuia scris Matricile

.
Folosind:

[Citat] bijectie:

pentru orice

, si adunand relatiile

[Citat] Bunul simt ar zice ca da,$I_{n}\in G$

Exista un

astfel ca produsul tuturor matricilor din

sa fie egal cu

. Scriind aceasta si inmultind egalitatea cu

obtinem pe

ca produs de matrici din

, deci este din

.(Aici parca scartaie ceva, dar acum mi-e somn; parca incurca necomutativitatea inmultirii)

G fiind multime finita nevida, dam de un A din G. Atunci in multimea / sirul A, AA, AAA, ... cel putin doua elemente (pe pozitii diferite) sunt egale. Deoarece stim ca inversa lui A exista in inelul mai mare de matrici, inmultind cu puterea corespunzatoare a ei dam de faptul ca matricea unitate (de marime corespunzatoare) este in G.

Atunci in sirul A, AA, AAA, ... la un moment dat dam de I, iar pe pozitia premergatoare dam de inversa lui A.

Fie S suma (in inelul mai mare de matrici) a tuturor matricilor din G. Fie x determinantul lui S. Atunci din

SS = |G| S

rezulta:

Deci x este fie zero, fie puterea a n-a a ordinului lui G. (n este aici "marimea" matricilor din G, deci acestea sunt toate matrici nxn.)

Si acum problema propriu zisa:

Daca G este grup finit abelian netrivial, atunci x-ul de mai sus este zero.

Sa se dea un exemplu in care x-ul NU este zero.

[Citat] Si acum problema propriu zisa: Sa se dea un exemplu in care x-ul NU este zero.

sincer...nu stiu
In prima faza m-am gandit la ceva de felul

,care e evident o prostie,pentru ca in primul rand ca nici nu stiu daca exista astfel de matrici.Ma mai gandesc totusi.

Daca avem de-a face cu un grup ciclic (cel mai simplu exemplu de grup comutativ in sensul atomilor prescrisi pentru structura lor de catre teorema factorilor invarianti) atunci x-ul nostru este nul. Argumentul este simplu.

Exemplu:
Daca G este { I, A, AA, AAA } cu AAAA = I, atunci ultima relatie se scrie:

(A-I) S = (A-I) ( I+A+AA+AAA ) = AAAA-I = 0 .

Deoarece A-I nu este matricea nula, are o linie/coloana nenula care da o dependenta liniara pentru liniile/coloanele lui S, deci x = det(S) este nul.

Acelasi argument merge pentru toate grupurile ciclice finite.

Folosind teorema factorilor invarianti, rezultatul se transpune imediat la grupuri comutative.

Daca vrem un caz in care "x-ul" este nenul, trebuie sa ne uitam la un grup necomutativ. Cel mai mic este grupul permutarilor de 3 elemente. Teoria reprezentarilor pentru grupul simetric este bine cunoscuta si recomand tuturor celor ce au o relatie mai mult sau mai putin cordiala cu matematica sa citeasca cartea lui Fulton sau cea a lui Bruce Sagan despre reprezentari de grupuri de permutari.

Cateva link-uri pentru mai multe gusturi ar fi:

http://www.thehcmr.org/issue2_2/tableaux.pdf
http://www.physics.carleton.ca/~kalyniak/phys5802/Symmetric.pdf
http://www.ams.org/journals/bull/1983-08-02/S0273-0979-1983-15121-2/S0273-0979-1983-15121-2.pdf
http://www.math.uni.wroc.pl/~psnia/slajdy/slajdy/representations-symmetric-groups/introduction-to-young-diagrams/introduction-handout.pdf
si chiar daca oamenii ma considera dus cu realitatea, lucrurile acestea sunt (mai ales la Sagan) usor accesibile pentru un elev de liceu neindiferent, cu ceva munca insa.

In fine, rezultatele (deja clasice, mai clasice ca Beethoven poate) din domeniu sunt de o frumusete rara si ofera omului un inceput de drum in matematica.

Inapoi la problema. Daca G este grup(ul) necomutativ cu sase elemente (pana la un izomorfism), atunci elementele lui sunt de forma:

I, T, TT,
U, UT, UTT

(unde desigur TTT=I=UU si in plus conjugarea cu U duce T in TT, deci UTU = TT). Din pacate atunci suma elementelor este

(I+U)(I+T+TT)

o matrice de rang nemaximal, deoarece (I+U) este degenerata, deoarece (I+U)(I-U)=I-UU=0.

Acelasi argument se aplica pentru toate grupurile diedre. Inca nu dam de un exemplu. Asadar:

Care este urmatorul grup necomutativ cu care sa incercam mai departe?

Defapt,nu cred ca inteleg bine ce cautam,o structura de grup necomutativ(cum ar fi cuaterionii,ca e primul care imi vine in minte?)
Asa ca...

[Citat] Inca nu dam de un exemplu.

Ba da,ca sa nu ramana problema nerezolvata...

Problema la care am ajuns este urmatoarea:

Sa se gaseasca un grup finit G format din matrici (patratice) de aceeasi marime (cu coeficientii intr-un corp ales cum vrem), inversabile -operatia grupului fiind inmultirea cu proprietatea ca

(in corpul ales).

Pana acum stim ca

daca G este format numai din matricea unitate, I, atunci x(G) = 1.

daca G este comutativ cu mai mult decat doua elemente, atunci x(G) = 0.

daca cautam un G netrivial cu x(G) diferit de zero, atunci G trebuie sa fie necomutativ.

daca G are un subgrup normal N, atunci scriind H = G/N (grup cat) avem pentru reprezentanti alesi arbitrar h1,h2,... in G ai claselor din H ca

De aceea, daca cautam un exemplu de G cu x(G) nenul, ajunge sa ne uitam la multimea grupurilor necomutative "simple" (adica fara de subgrupuri normale netriviale).

Acestea sunt caracterizate. Pentru cei ce nu stiu inca ce este teoria grupurilor, un inceput ar fi
http://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
si cateva zile de joc cu cubul lui Rubik.
In fine, cel mai mic grup "simplu" este A(5), grupul altern de ordin cinci, subgrupul permutarilor pare ale multimii {1,2,3,4,5} care are 5!/2 = 60 de elemente. Putem gasi n natural mai mare ca unu si o "reprezentare" R cu matrici a acestui grup,

cu proprietatea ca