Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Titularizare, definitivat ... » Spatiu vectorial
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
ana fuia
Grup: membru
Mesaje: 1230
18 Apr 2010, 00:06

[Trimite mesaj privat]

Spatiu vectorial    [Editează]  [Citează] 

Fie
.Daca
este o radacina a lui f,notam

Aratati ca

este un Q spatiu vectorial de dim.4.

Adevarul adevarat e ca ,desi teoretic stiu ce am de facut,nu am fost niciodata in stare sa redactez o astfel de demonstratie "corect, corect"



(am ajutat putin la redactare)


---
Anamaria
gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
17 Apr 2010, 01:40

[Trimite mesaj privat]


(Prima solutie) presupune ceva cunostinte de teorie Galois.
Fie alpha o radacina fixata in corpul numerelor complexe a polinomului dat f cu coeficienti peste
.
Notam cu

corpul generat peste
de aceasta radacina.

Potrivit criteriului lui Eisenstein f este ireductibil peste
, deci

este o extindere algebrica de grad egal cu gradul lui f, anume 4.


---
df (gauss)
ana fuia
Grup: membru
Mesaje: 1230
17 Apr 2010, 08:05

[Trimite mesaj privat]


Si a doua...?


---
Anamaria
gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
17 Apr 2010, 19:16

[Trimite mesaj privat]


(A doua solutie) se reduce la a uita/ignora ca
are chiar structura de corp (cu operatiile mostenite de pe corpul numerelor complexe) si de a arata doar strict cele cerute.

Din cauza stabilitatii "usor de vazut" a submultimii
la operatiile spatiului vectorial
peste corpul
rezulta ca
este un (sub)spatiu vectorial.

Prin definitie, sistemul de patru "vectori"

genereaza liniar
peste corpul
, deci dimensiunea este maximal 4.
Ramane sa aratam ca acest sistem este liniar independent.

Presupunem contrariul, obtinand o relatie liniara de anulare:

nu toate nule.
De aici incolo fie ne legam de polinomul nenul a XXX + b XX + c X + d care contrazice ireductibilitatea (Eisenstein) lui XXXX + XXX + XX + X + 1 peste Q, deci si peste ZZ (lema lui Gauss), fie procedam pedestru cam cu acelasi tzel dupa cum urmeaza:

Cele doua polinoame

au o radacina comuna ca polinoame peste corpul numerelor complexe.
Aplicand repetat algoritmul lui Euclid -cum facem de exemplu prin impartiri cu rest repetate pentru a da optimal, fara descompuneri in factori primi, de cmmdc pentru doua numere intregi- obtinem faptul ca f si g au un divizor comun in inelul de polinoame
. (Algoritmul lui Euclid nu paraseste acest inel polinomial.) Acest divizor comun nu poate avea gradul 3 sau 1, deoarece ar rezulta ca f are un divizor de grad unu in acest inel, deci are o radacina rationala, dar radacinile lui f sunt cele patru radacini diferite de unu ale polinomului x^5-1, varfurile nereale unui pentagon regulat din cercul complex de raza unu cu centru in origine.
Deci acest divizor are gradul doi. Putem deci scrie

radacinile lui f. Desigur, aceste radacini fiind complexe nereale, iar f1, f2 avand coeficienti reali, cele doua radacini ale lui f1 sunt complex conjugate de modul unu si de asemenea cele ale lui f2. Nu avem prea multe sanse de descompunere deci peste IR, "singura" sansa este (eventual renotand/permutand f1 cu f2) de forma

Acum fie "stim" ca acele cosinusuri sunt numere nerationale, fie ne legam de suma si produsul acelor p,q ce apar mai sus, asociem via Vieta ecuatia de gradul doi si vedem ca aceasta nu are radacini rationale...
(Astfel se calculeaza de fapt cel mai usor aceste cosinusuri...)

Obtinem o contradictie. Deci acele numere rationale a,b,c,d nu exista, deci sistemul nostru este liniar independent. Fiind si sistem de generatori formeaza o baza. Numarul de elemente dintr-o baza (sau alta) este dimensiunea spatiului vectorial in cauza. Noi avem 4 vectori in sistem.

M-am straduit sa dau o solutie digerabila si pentru clasa a noua, presupunand ca este cunoscuta notiunea de sistem liniar independent.






---
df (gauss)
ana fuia
Grup: membru
Mesaje: 1230
17 Apr 2010, 21:27

[Trimite mesaj privat]


[Citat]


M-am straduit sa dau o solutie digerabila si pentru clasa a noua, presupunand ca este cunoscuta notiunea de sistem liniar independent


Cel putin din punctul meu de vedere,ati reusit ...
Acum, ca tot a venit vorba,
[Citat]


Acum fie "stim" ca acele cosinusuri sunt numere nerationale, fie ne legam de suma si produsul acelor p,q ce apar mai sus, asociem via Vieta ecuatia de gradul doi si vedem ca aceasta nu are radacini rationale...

Vrem sa demonstram ca
nu este numar rational.Daca de exemplu notez
si ridic la putera a treia gasesc ca
nu e numar rational.Si gata?Se pp. ca asta stim ,"de la gradinita"?


---
Anamaria
gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
17 Apr 2010, 23:37

[Trimite mesaj privat]


Presupunem prin absurd ca numarul real
este un numar rational. Atunci exista numere naturale >0 notate a,b cu proprietatea:

Desigur, cand am scris prima relatie si fractia a/b pot presupune fara a restrange generalitatea ca a si b sunt prime intre ele, altfel impart cu divizorul comun. (Fermat prefera aici sa nu faca aceasta restrangere, iar "descinderea" pe care o facem o data pentru a obtine contradictia, el o facea atunci de o infinitate de ori, facand rest de contradictia lui. Metoda lui se numeste inca "infinit descent", descindere infinita, si se mai tot intalneste in teoria numerelor...)

Consideram o descompunere in factori primi a lui <a> si una a lui <b>.
Atunci din acestea obtinem descompuneri in factori primi pentru
6 bbb
si respectiv pentru
aaa .

Din
6 bbb = aaa
rezulta ca 2 divide partea stanga, deci si pe cea dreapta, deci 2 divide descompunerea in factori primi a lui aaa mostenita din cea a lui a, deci 2 divide a. Scriem a=2c. Rezulta

3 bbb = 4 ccc.

Cam cu acelasi rationament rezulta ca 2 divide si pe b.
Contradictie cu presupunerea ca a si b sunt relativ prime.

N.B. O prescurtare a rationamentului se obtine folosind
teorema fundamentala a aritmeticii (care rezulta din existenta algoritmului lui Euclid pe ZZ), in special UNICITATEA descompunerea in factori primi (modulo permutarea termenilor) pentru numarul intreg pozitiv 6 bbb si aaa.

N.B. Nu se poate presupune drept "cunoscut" faptul ca
un radical de ordin N>1
dintr-un numar natural care nu este putere perfecta de ordin N
nu este rational,
decat daca mentionam ceva de forma <<prin reducere la o ecuatie diofantiana si descindere infinita folosind teorema fundamentala a aritmeticii>> .


---
df (gauss)
ana fuia
Grup: membru
Mesaje: 1230
18 Apr 2010, 00:06

[Trimite mesaj privat]


[Citat]


N.B. Nu se poate presupune drept "cunoscut" faptul ca
un radical de ordin N>1
dintr-un numar natural care nu este putere perfecta de ordin N
nu este rational,
decat daca mentionam ceva de forma <<prin reducere la o ecuatie diofantiana si descindere infinita folosind teorema fundamentala a aritmeticii>> .

Multumesc lucrul asta ma interesa in mod special.Revenind asadar la demonstratie,ea merge in doi pasi:
-primul: ridicarea la a 3-a
-si apoi dem ca
nu este numar rational,cam in acelasi mod cum ii invat pe cei de a 7-a ca
e irational


---
Anamaria
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  47488 membri, 58465 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ