(A doua solutie) se reduce la a uita/ignora ca
are chiar structura de corp (cu operatiile mostenite de pe corpul numerelor complexe) si de a arata doar strict cele cerute.
Din cauza stabilitatii "usor de vazut" a submultimii
la operatiile spatiului vectorial
peste corpul
rezulta ca
este un (sub)spatiu vectorial.
Prin definitie, sistemul de patru "vectori"
genereaza liniar
peste corpul
, deci dimensiunea este maximal 4.
Ramane sa aratam ca acest sistem este liniar independent.
Presupunem contrariul, obtinand o relatie liniara de anulare:
nu toate nule.
De aici incolo fie ne legam de polinomul nenul a XXX + b XX + c X + d care contrazice ireductibilitatea (Eisenstein) lui XXXX + XXX + XX + X + 1 peste Q, deci si peste ZZ (lema lui Gauss), fie procedam pedestru cam cu acelasi tzel dupa cum urmeaza:
Cele doua polinoame
au o radacina comuna ca polinoame peste corpul numerelor complexe.
Aplicand repetat algoritmul lui Euclid -cum facem de exemplu prin impartiri cu rest repetate pentru a da optimal, fara descompuneri in factori primi, de cmmdc pentru doua numere intregi- obtinem faptul ca f si g au un divizor comun in inelul de polinoame
. (Algoritmul lui Euclid nu paraseste acest inel polinomial.) Acest divizor comun nu poate avea gradul 3 sau 1, deoarece ar rezulta ca f are un divizor de grad unu in acest inel, deci are o radacina rationala, dar radacinile lui f sunt cele patru radacini diferite de unu ale polinomului x^5-1, varfurile nereale unui pentagon regulat din cercul complex de raza unu cu centru in origine.
Deci acest divizor are gradul doi. Putem deci scrie
radacinile lui f. Desigur, aceste radacini fiind complexe nereale, iar f1, f2 avand coeficienti reali, cele doua radacini ale lui f1 sunt complex conjugate de modul unu si de asemenea cele ale lui f2. Nu avem prea multe sanse de descompunere deci peste IR, "singura" sansa este (eventual renotand/permutand f1 cu f2) de forma
Acum fie "stim" ca acele cosinusuri sunt numere nerationale, fie ne legam de suma si produsul acelor p,q ce apar mai sus, asociem via Vieta ecuatia de gradul doi si vedem ca aceasta nu are radacini rationale...
(Astfel se calculeaza de fapt cel mai usor aceste cosinusuri...)
Obtinem o contradictie. Deci acele numere rationale a,b,c,d nu exista, deci sistemul nostru este liniar independent. Fiind si sistem de generatori formeaza o baza. Numarul de elemente dintr-o baza (sau alta) este dimensiunea spatiului vectorial in cauza. Noi avem 4 vectori in sistem.
M-am straduit sa dau o solutie digerabila si pentru clasa a noua, presupunand ca este cunoscuta notiunea de sistem liniar independent.