Matematica - titularizare 2009 - jud.Constanta!

Subiectul I
1. Se considera multimea

si un subgrup

al grupului

cu proprietatea ca multimea

este finita si nevida.
a. Sa se arate ca, daca

, atunci

b. Sa se arate ca, daca

, atunci

c. Sa se arate ca

, avem

d. Sa se arate ca exista

, astfel incat

e. Sa se arate ca nu exista un morfism bijectiv de grupuri intre grupurile

si

2. Se considera triunghiul ABC cu laturile de lungimi a,b,c cu R raza cercului circumscris si cu r raza cercului inscris. Notam cu O centrul cercului circumscris, cu G centrul de greutate, cu H ortocentrul si cu I centrul cercului inscris in triunghiul ABC.
a. Sa se arate ca

b. Sa se arate ca

c. Sa se arate ca

d. Sa se arate ca

e. Sa se arate ca

Subiectul II
1. Se considera functia

,

, numerele

si matricele

,

a. Sa se determine radacinile

,

,

ale ecuatiei

si sa se calculeze suma modulelor lor.
b. Sa se arate ca

c. Sa se arate ca

d. Sa se arate ca pentru orice trei puncte distincte cu coordonatele naturale situate pe graficul functiei f, aria triunghiului cu varfurile in aceste puncte este un numar natural divizibil cu 3.

2.Fie sirul

, definit prin

si integralele

si

a. Sa se calculeze

si

b. Sa se demonstreze ca

c. Sa se arate ca

d. Folosind inductia matematica, aratati ca

,

e. Verificati ca

si sa se calculeze

Subiectul III
1. Descrieti la alegere una din urmatoarele metode de invatare: problematizarea, demonstratia, lucrul cu manualul, prezentand:
a. Definitia
b. Caracterizarea metodei
c. Un exemplu de utilizare a metodei la disciplina matematica.

2. Elaborati proiectul de lectie cu tema: "Teorema cresterilor finite a lui Lagrange", prezentand numai urmatoarele activitati de invatare:
a. Enuntul si demonstratia teoremei
b. Formularea unui exemplu de functie care nu verifica o ipoteza a Teoremei lui Lagrange, dar pentru care concluzia ramane valabila
c. Formularea unui exemplu de functie care nu verifica o ipoteza a Teoremei lui Lagrange, dar pentru care concluzia este falsa.

Voi reveni cu postarea solutiilor de la subiectul I.1.a,b; I.2.a, b, c, d, e; II.1.a,b,c; II.2.a,e; III.1; III.2.
Pentru restul insa, sper sa gasesc o rezolvare propusa de dvs. De asemenea m-ar interesa sa vad baremul de la aceste subiecte!
Spor pentru toata lumea (pt mine inclusiv )!

I 1 c) Fie

. Cum H este grup, va contine subgrupul
generat de c, subgrup care este exact

.

d) Fie

. Minimul exista caci multimea este finita si nevida. Conform punctului c), avem

. Vom demonstra si incluziunea reciproca prin reducere la absurd. Presupunem ca exista

. Exista atunci

astfel incat

. Dar de aici rezulta

si am obtinut o contradictie cu minimalitatea lui d caci

e) Un argument rapid ar consta in faptul ca H este subgrup ciclic al lui (R,+) (conform d) in timp ce

nu este ciclic.

Daca vrem sa dezvoltam aceasta demonstratie, presupunem ca exista un morfism
bijectiv

. Fie

. Folosind punctul d) si faptul ca f este surjectiva, rezulta ca pentru orice

, exista

astfel incat

. Or aceasta revine la faptul ca pentru orice a, b intregi exista k intreg astfel incat

. Contradictie (luati de exemplu

)!

II 2 cred ca a fost printre subiectele de Bacalaureat in 2007, 2008 sau 2009. Incerc sa-l localizez si sa dau referinta, altfel revin cu rezolvarea.

Ar fi interesant de vazut daca cineva va posta baremul.

Da, intr-adevar, o parte (a,b,c-oarecum) din acest ex. se regaseste intre variantele de Bac2009, mai precis Varianta 8 Subiectul III ex 2

II.2.b
Avem

De aici

Imediat rezulta

I.2.a
G = centru de greutate al triunghiului ABC. Din Teorema de caracterizare a centrului de greutate rezulta

relatie echivalenta cu

de unde rezulta relatia ceruta.
b.
Relatiile lui Sylvester:
1)

2)

Dem: 1) Fie A' mijlocul lui BC si D simetricul lui H fata de A'

HBDC paralelogram

(1)

(2)
Din (1)si(2)

ABCD insriptibil. De aici: D se afla pe cercul circumscris triunghiului ABC si [AD] diametru.
O = mij. lui [AD], deci

2)

Relatia este echivalenta cu:

(3)
Stim ca G, ca centru de greutate satisface (conform a.) relatia

(4)
Din (3)si(4):

Rezolvare I2c):

Fie A' mijlocul segmentului BC.Scriem relatia lui Stewart pt triunghiul OAA' si punctul G:

Inlocuim

Triunghiul OA'C este dreptunghic . Deci

.
Inlocuind toate acestea obtinem concluzia.

Rezolvare I2e) ( luata din cartea lui Boskoff) la care am si o nelamurire.
Fie D punctul in care bisectoarea AI intersecteaza cercul si fie punctele E,F intersectiile lui OI cu cercul.
In triunghiul ABD :

.
Fie I' intersectia cercului inscris cu AB.
In tr.AI'I dreptunghic:

.
Deoarece AI si BI bisectoare rezulta BD=DI.
Folosind puterea lui I fata de cercul circumscris rezulta:

.

Nelamurirea mea este de ce BD=DI

titularizare 2009-Braila-pb.de geometrie pct e)
Acelasi triunghi ABC: daca

, D diferit de A si B, iar H' este ortocentrul triunghiului ABD, atunci demonstrati ca

[Citat] titularizare 2009-Braila-pb.de geometrie pct e) Acelasi triunghi ABC: daca , D diferit de A si B, iar H' este ortocentrul triunghiului ABD, atunci demonstrati ca

Se tine cont de faptul ca triunghiurile ABD si ABC au acelasi cerc circumscris si de urmatoarea relatie

,cu notatiile obisnuite;M un punct oarecare in planul triunghiului ABC.

Subiectul II
1. Se considera functia

,

, numerele

si matricele

(a) Sa se determine radacinile

,

,

ale ecuatiei

si sa se calculeze suma modulelor lor.

Avem descompunerea functiei date:

deci radacinile lui f sunt

, de module

deci suma modulelor lor este

.


(b) Sa se arate ca

de unde rezulta formula ceruta. Calculatorul este de aceeasi parere (o linie franta doar, cod maxima):

(c) Sa se arate ca

Incepand calculul determinantului lui B prin scaderea din linia a treia
a unei combinatii liniare "la indemana" (se scad de doua ori linia a doua si de trei ori prima) rezulta intr-o linie egalitatea ceruta.


(d) Sa se arate ca pentru orice trei puncte distincte cu coordonatele naturale situate pe graficul functiei f, aria triunghiului cu varfurile in aceste puncte este un numar natural divizibil cu 3.

Fie

trei puncte arbitrare cu coordonatele a,b,c naturale (deci si cu celelalte ...)
Construim matricea A ca in enunt cu parametrii a,b,c, cititi intamplator din abscisele acestor trei puncte.
Atunci aria cautata este modulul numarului rational:

Numitorul doi se simplifica, deoarece dintre numerele a,b,c doua au aceeasi paritate, iar diferenta lor apare ca factor in "numarator".

Studiem divizibilitatea cu trei a numaratorului (eventual intre timp redus prin impartirea cu doi, nu conteaza, deoarece 2 si 3 sunt numere prime diferite si avem descompunere unica in factori primi...)

Daca dintre numerele a,b,c doua dau acelasi rest la impartirea (cu rest) la 3, atunci factorul diferenta corespunzator asigura divizibilitatea numaratorului cu 3.
Daca nu, a,b,c produc resturile 0,1,2 la impartirea cu trei (eventual in alta ordine), deci suma (a+b+c) este congruenta cu 0+1+2 modulo 3. Rezulta deci ca factorul salvator (a+b+c) este raspunzator de divizibilitatea cu 3.

Multumesc Anamaria, dar tot nu am inteles.Relatia pe care mi-ai dat-o o demonstrasem la pct.b), dar nu stiu sa o exploatez pentru a demonstra ce trebuie.
Gauss, mi-a fost de ajutor pb. rezolvata de tine pt. ca eu rezolvasem numai punctele a,b,c, iar cu d) ramasesem in suspans.