Postati aici intrebari legate de problemele din aceasta varianta.

la 2 c)ma poate ajuta cineva?

[Citat] la 2 c)ma poate ajuta cineva?

De doua ori integrare prin parti, pentru a obtine o relatie de recurenta. Se continua cu teorema de medie pentru integrale. Cam mult de scris in orice caz, cel putin la cum vad eu acum solutia.

[Citat] [Citat] la 2 c)ma poate ajuta cineva? De doua ori integrare prin parti, pentru a obtine o relatie de recurenta. Se continua cu teorema de medie pentru integrale. Cam mult de scris in orice caz, cel putin la cum vad eu acum solutia.

Cam asa ma gandeam si eu,dar dupa ce se integreaza de 2 ori prin parti se ajunge la x^(n-1)*cos(x) si acum nu putem spune ca daca n tine la infinit putem inlocui aceasta chestie iarasi cu x^(n+1)*cos(x) si o sa iasa imediat ca limita e -inf?

[Citat] [Citat] [Citat] la 2 c)ma poate ajuta cineva? De doua ori integrare prin parti, pentru a obtine o relatie de recurenta. Se continua cu teorema de medie pentru integrale. Cam mult de scris in orice caz, cel putin la cum vad eu acum solutia. Cam asa ma gandeam si eu,dar dupa ce se integreaza de 2 ori prin parti se ajunge la x^(n-1)*cos(x) si acum nu putem spune ca daca n tine la infinit putem inlocui aceasta chestie iarasi cu x^(n+1)*cos(x) si o sa iasa imediat ca limita e -inf?

Avem ceva de gen -(n+1)pi^n si apoi acel termen cu integrala lui x^(n-1)*cos(x). Pentru aceasta integrala se foloseste teorema de medie si apoi se arata ca termenul cu -(n+1)pi^n este cel dominant in expresia obtinuta (factor comun pi^n, etc).

Putem proceda si altfel. Scriem

Prima integrala tinde la 0, fiind majorata de

Pentru a treia, sa observam ca pentru

deci

Cum

, rezulta ca

Mai ramane sa aratam ca a doua integrala e marginita. Pentru aceasta, scriem

Facand in a doua integrala schimbarea de variabila

obtinem in final

deoarece pentru

Eu am descompus-o si e mai mare decat integrala de la pi/2 la pi/3 - dupa o integrare prin parti. integrala este din x^n, de la pi/2 la pi/3, care cu teorema de medie este = c(n)^n*pi/6. c(n) e mai mare ca pi/3 deci integrala tinde la infinit, ceea ce se vede si intuitiv, privita ca arie. Nu e bine ceva?

[Citat] Eu am descompus-o si e mai mare decat integrala de la pi/2 la pi/3 - dupa o integrare prin parti

Nu inteleg cu se ajunge la aceasta inegalitate. Iata o abordare care da rezultatul din enunt:

. Facem schimbarea de variabila x=pi/2+t in a doua integrala si avem

Folosim teorema de medie pentru integrale si apoi este suficient sa demonstram ca

In rezolvarea dumneavoastra: c-ul acela din teorema de medie depinde de n, este de fapt un c(n), pentru fiecare n fixat avem un c(n).

Eu asa ziceam: se face o integrare prin parti, se ajunge la integrala_{0} la {pi} din x^n*sinx, cu coeficientul -(n+1) in fata. Integrala, fara coeficient, este mai mare decat integrala de la Pi/3 la Pi/2, din aceeasi functie, sinusul fiind pozitiv sau nul acolo.

Integrala de la Pi/3 la Pi/2 este mai mare sau egala cu integrala de la Pi/3 la Pi/2 din x^n * rad(3)/2, deoarece sinusul strict crescator pe Pi/3-Pi/2. Ultima integrala, cu teorema de medie, este egala cu c(n)^n*rad(3)/2, si cum c(n) este mai mare sau egal cu Pi/3, ajungema la mai mare sau egal cu rad(3)/2 * (Pi/3)^n care tinde la +infinit.

Revenind de unde am pornit minorarea, ajungem ca limita este - infinit. Cred ca am zis ok.

[Citat] In rezolvarea dumneavoastra: c-ul acela din teorema de medie depinde de n, este de fapt un c(n), pentru fiecare n fixat avem un c(n).

Este adevarat, am fost neglijent in redactare.

[Citat] Eu asa ziceam: se face o integrare prin parti, se ajunge la integrala_{0} la {pi} din x^n*sinx, cu coeficientul -(n+1) in fata. Integrala, fara coeficient, este mai mare decat integrala de la Pi/3 la Pi/2, din aceeasi functie, sinusul fiind pozitiv sau nul acolo. Integrala de la Pi/3 la Pi/2 este mai mare sau egala cu integrala de la Pi/3 la Pi/2 din x^n * rad(3)/2, deoarece sinusul strict crescator pe Pi/3-Pi/2. Ultima integrala, cu teorema de medie, este egala cu c(n)^n*rad(3)/2, si cum c(n) este mai mare sau egal cu Pi/3, ajungema la mai mare sau egal cu rad(3)/2 * (Pi/3)^n care tinde la +infinit. Revenind de unde am pornit minorarea, ajungem ca limita este - infinit. Cred ca am zis ok.

Solutie foarte buna si in plus este mai scurta decat cea pe care o indicam mai sus (poate fi corectata punand acel indice, dar devine prea lunga si greoaie).