Postati aici intrebari legate de problemele din aceasta varianta.

as vrea sa stiu la 2 c) cum se arata???:D

[Citat] as vrea sa stiu la 2 c) cum se arata???:D

Se calculeaza efectiv primitiva F (de doua ori integrare prin parti) si apoi se studiaza limita lui F pentru sirurile

Cum se justifica scurt, riguros si cu programa de liceu ca daca f(x) are limita infinit cand x tinde la infinit atunci si inversa sa are limita infinit cand argumentul inversei tinde la infinit?

[Citat] Cum se justifica scurt, riguros si cu programa de liceu ca daca f(x) are limita infinit cand x tinde la infinit atunci si inversa sa are limita infinit cand argumentul inversei tinde la infinit?

Banuiesc ca vreti sa rezolvati punctul c) de la prima problema. Eu personal as aborda direct problema, fara a mai trece prin o afirmatie ca aceasta.

Functia f este strict crescatoare, deci si f^{-1} este strict crescatoare (aceasta afirmatie este usor de demonstrat direct din definitie; dar banuiesc ca poate fi acceptata de orice corector onest). Din f(0)=0, rezulta f^{-1}(0)=0, deci f^{-1}(x)>0 pentru x>0. Atunci din relatia

rezulta ca pentru x>0 avem

Revenind la aceasi egalitate mai deducem si

Folosind criteriul clestelui, din dubla inegalitate

, deducem ca limita ceruta este 1.

[Citat] Cum se justifica scurt, riguros si cu programa de liceu ca daca f(x) are limita infinit cand x tinde la infinit atunci si inversa sa are limita infinit cand argumentul inversei tinde la infinit?

Legat strict de aceasta afirmatie: o demonstram cu ipoteza suplimentara ca f este continua (functia din problema 1 din varianta aceasta este continua).

Cum f este injectiva si continua (deci are proprietatea lui Darboux) este strict monotona. Faptul ca limita la infinit este infinit ne mai spune ca f este strict crescatoare. Rezulta ca si inversa este strict crescatoare. Presupunem ca inversa nu are limita infinit la infinit, prin urmare trebuie sa fie marginita superior. Dar

pentru orice x, deci inversa f^{-1} ia valori oricat de mari. Contradictie!

Da, multumesc. Partea aceea"presupunem inversa n-are limita infinit la infinit". Cum arat ca are, adica ca exista limita la infinit a inversei? Eu am o idee cu definitia limitei la infinit, scriind definitia pentru f si f^-1. Dar e prea lung si vreau cat mai simplu.

Deci, daca inversa ar avea limita la infinit, aceasta musai sa fie infinit. Dar cum arat scurt - ca are?

[Citat] Da, multumesc. Partea aceea"presupunem inversa n-are limita infinit la infinit". Cum arat ca are, adica ca exista limita la infinit a inversei? Eu am o idee cu definitia limitei la infinit, scriind definitia pentru f si f^-1. Dar e prea lung si vreau cat mai simplu. Deci, daca inversa ar avea limita la infinit, aceasta musai sa fie infinit. Dar cum arat scurt - ca are?

Argumentul este ca functia

e strict crescatoare. Orice functie strict crescatoare pe R are limita la