504. Fie a apartinand lui R. Se considera fuctia f:R->R f(x) = (prima ramura) 4^x - 2^(x+1) +1 pentru x apartine lui Q
(a doua ramura) ax^2 pentru x apartinand lui R\Q.
Functia f are un nr maxim de puncte de continuitate daca si numai daca :
a) a=0 b) a=1 c) alt raspuns d) a<0

[Citat] 504. Fie a apartinand lui R. Se considera fuctia f:R->R f(x) = (prima ramura) 4^x - 2^(x+1) +1 pentru x apartine lui Q (a doua ramura) ax^2 pentru x apartinand lui R\Q. Functia f are un nr maxim de puncte de continuitate daca si numai daca : a) a=0 b) a=1 c) alt raspuns d) a<0

Punctele de continuitate ale functiei din enunt sunt solutiile ecuatiei

E clar ca pentru

exista un singur astfel de punct (anume

). Pentru

ecuatia se rescrie

Acest lucru rezulta din faptul ca ambii membrii din ultima egalitate au acelasi semn pe

!!!!!.

Mai departe, membrul stang al ultimei ecuatii este o functie convexa pe toata dreapta reala. Distingem cazurile

• 
  . Atunci ecuatia de mai sus are o singura solutie nenula, in intervalul
  
  
  
• 
  . Atunci ecuatia de mai sus are o singura solutie nenula, in intervalul
  
  
  
• 
  . Atunci ecuatia de mai sus NU ARE SOLUTII NENULE. Notand
  
  , ultima afirmatie rezulta din inegalitatea familiara
  
  
  
  

In toate cazurile de mai sus

este o solutie a ecuatiei.
Asadar functia originala admite doua puncte de continuitate pentru

iar raspunsul corect este c) -- alt raspuns

Multumesc tare mult.