Fie funcția R->R,

. Să se determine asimptotele la graficul funcției f.

[Citat]

Este

.
Mulțumesc!

Avem o asimptota

y = mx + n

daca si numai daca diferenta dintre f(x) si g(x) = mx+n tinde la zero pentru x care tinde spre infinit. Mai sus am izolat coeficientul m, deoarece din

( f(x) - (mx+n) ) -> 0 rezulta in particular
( f(x) - (mx+n) ) / x -> 0 adica
f(x) / x -> m .

Acum ramane sa il extragem si pe n.
Pentru aceasta trebuie calculata limita expresiei

f(x) - mx

(cu m-ul deja obtinut), desigur daca limita exista.
Pentru m = 0 avem o asimptota orizontala, dar la noi nu este cazul, m-ul este nenul. Deci avem o asimptota oblica si limita care il defineste pe m este - prin natura lucrurilor - o limita de tipul

oo - oo

care trebuie calculata cumva.
Calculatorul este un mediator bun in acest secol:


sage: var( 'x' );
sage: f(x) = x * arctan(x)
sage: m = limit( f(x) / x, x = Infinity )
sage: m
1/2*pi
sage: n = limit( f(x) - m*x, x = Infinity )
sage: n
-1


Acelasi lucru cu -oo in locul lui +oo, programul de lucru nu se schimba.

sage: m = limit( f(x) / x, x = -Infinity ); m
-1/2*pi
sage: n = limit( f(x) - m*x, x = -Infinity ); n
-1


Aici putem intra pe
http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html
si cere graficul celor trei functii care apar:

In campul de evaluare ajunge sa introducem atunci:
plot x*atan(x), pi/2*x - 1 , -pi/2*x-1

Voi calcula de mâna singura limita care poate face probleme...