Se da functia f(x)=integrala de la o la arctg x din e^[(tg t)^2], x apartine lui R

Calculati I= integrala de la 0 la 1 din [x*f(x)]/[e^(x^2)] + 1/(2e)*int de la 0 la 1 din [e^(x^2)]/(1+x^2)

Functia

, fiind continua, admite primitive pe

. Fie

o primitiva a functiei

pe

. Atunci

este
derivabila si

Pe de alta parte, din continuitatea functiei

, rezulta ca

este integrabila pe
intervalul

. In baza formulei
Leibniz-Newton, avem

Asadar, functia

este o compunere de functii derivabile, de unde rezulta ca

este
derivabila si

Pentru integrala

folosim integrarea prin parti:

Am tinut cont de faptul ca

si la ultima integrala am facut schimbarea de variabila

Deci