15)
c)

d)

Cum ai facut la exercitiul 13?

Daca x este numarul apartamentelor cu 2 camere si y este numarul apartamentelor cu 3 camere, rezolvi sistemul x + y = 28 si 2x + 3y = 76. Se obtine x=8 si y=20.

b) Indiciu : foloseste faptul ca [AM] congruent cu [MC] in triunghiurile echilaterale ADC si ABC
c) Este usoara, afli DM stiind ca e inaltime in triunghi echilateral si este egal cu BM
d) Duci din M o perpendiculara pe inaltimea bazei si demonstrezi cu reciproca teoremei celor 3 perpendiculare ca acea dreapta dusa din M este perpendiculara si pe pe planul bazei, apoi calculezi distanta din triunghiul NMC.

La problema 15, varianta 4, trebuie sa observi ca piramida are toate muchiile congruente, deci este un tetraedru regulat. Fetele tetraedrului sunt triunghiuri echilaterale.

La b) Ai: M mijlocul laturii AC si deci BM si DM sunt mediane in doua triunghiuri echilaterale si congruente, cu AC latura comuna, de unde rezulta ca BM si DM sunt inaltimi, ambele perpendiculare pe AC = > AC perpendiculara si pe BM si pe DM si deci este perpendiculara pe doua drepte ale planului (MBD), rezulta concluzia.

La c) Triunghiul MBD este isoscel cu BM congruenta cu DM. Afli DM,de exemplu, care este inaltime in triunghiul echilateral DAC, apoi construiesti inaltimea MH, unde H este pe BD,ii determini lungimea cu teorema lui Pitagora; aria rezulta imediat, produsul dintre baza si inaltime...

La d)In triunghiul AOC, unde O este centrul triunghiului BCD, construiesti MN paralela la AO,unde AO este inaltime in tetraedru, O este centrul bazei BCD; cum AO este perpendiculara pe (BCD)rezulta ca si MN este perpendiculara pe (BCD)si deci distanta de la M la planul (BCD) este MN care este linie mijlocie in triunghiul OAC si deci este jumatate din lungimea inaltimii tetraedrului, AO...

Completare:
Pentru o demonstratie eleganta poti arata inainte de a construi paralela ca AO este perpendiculara pe planul (BCD), fara a folosi reciproca teoremei celor trei perpendiculare, in felul urmator:

Notezi P mijlocul laturii BC. In triunghiul DAP construiesti inaltimea AO, deci AO este perpendiculara pe DP (1).
Triunghiul BCD fiind echilateral DP este perpendiculara pe BC, dar si triunghiul ABC este tot echilateral si deci BC este perpendiculara si pe AP; AP fiind inaltime, vei avea BC perpendiculara pe doua drepte din planul DAP, pe DP si pe AP si deci BC va fi perpendiculara pe planul(DAP), cum AO apartine planului(DAP), rezulta BC perpendiculara pe AO si deci AO este perpendiculara pe BC (2). Din (1) si (2) rezulta AO perpendiculara pe planul (BCD).

Sper ca explicatiile mele sa te ajute, nu mai verific, ca sunt crima de obosita

Natasa

[Citat] b) Indiciu : foloseste faptul ca [AM] congruent cu [MC] in triunghiurile echilaterale ADC si ABC c) Este usoara, afli DM stiind ca e inaltime in triunghi echilateral si este egal cu BM d) Duci din M o perpendiculara pe inaltimea bazei si demonstrezi cu reciproca teoremei celor 3 perpendiculare ca acea dreapta dusa din M este perpendiculara si pe pe planul bazei, apoi calculezi distanta din triunghiul NMC.

Anonimus a fost mai iute. La gimnaziu reciprocile celor trei perpendiculare nu se mai studiaza de ani buni.

Eu am dat o solutie fara reciproce.

Natasa

Reciprocele se studiaza in gimnaziu, chiar saptamana trecuta ni le-a predat la scoala (sunt clasa a VIII-a).

[Citat] Reciprocele se studiaza in gimnaziu, chiar saptamana trecuta ni le-a predat la scoala (sunt clasa a VIII-a).

Reciprocile se studiaza in cadrul orelor de CDS, nu a orelor din cadrul programei normale, acestea sunt notate cu ''*'' in programa de matematica. Insa nu este rau ca s-a predat la voi, probabil ca sunteti o clasa foarte buna.
Sunt profesor de matematica.

Natasa