Nu prea e pentru ciclul primar. V? a?tepta?i ca elevii s? g?seasc? prin încerc?ri cele 84 de numere?

Numerele care încep cu 1 pot fi:
123, 124, 125, ... 129; adic? 7 numere

134, 135, ... 139; adic? 6 numere

145, ... 149; adic? 5 numere

..........
189 adic? 1 num?r

Avem 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 de numere care încep cu cifra 1.


Prin analogie, avem :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 de numere care încep cu cifra 2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 numere care încep cu cifra 3

1 + 2 + 3 + 4 = 10 numere care încep cu cifra 4

1 + 2 + 3 = 6 numere care încep cu cifra 5

1 + 2 = 3 numere care încep cu cifra 6

1 num?r care începe cu cifra 7(num?rul 789)

Niciun num?r care s? înceap? cu cifra 8 sau 9.

Adunând rezultatele de mai sus, ob?inem:

28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 84

Adic? un total de 84 de numere cerute de problem?.



Sau :

(Pentru iste?ii mai mari...)

[Citat] Prin analogie...

Dau doar un comentariu subiectiv, pentru a-i mai linisti pe cei de a IV-a care citesc aici. Nu cred ca problema poate fi vanduta ca una de clasa a IV-a. (Nici macar pentru olimpicii din a IV-a ...)

Cei de a IV-a sunt rugati sa intrerupa aici citirea.

Motivele se leaga de urmatoarele principii (subiective, dar destul de general acceptate
) ale didacticii pragmatice cu feed back
.

O problema care este o tragere la tema (in sens rebusist) este corect plasata in clasa in care se studiaza problema fara tragere la tema.
In cazul nostru, plasarea corecta a problemei este prin enuntul: "In cate moduri putem alege drei obiecte distincte din noua obiecte distincte?" . Plasarea este in liceu. Folosirea de "trei cifre distincte" in loc este o tragere la tema, nu face decat enuntul accesibil pentru cei de a IV-a.

O problema este (potrivit tematicii ei) corect plasata daca se poate aborda (in mod mai mult sau mai putin evident, dar in orice caz natural) cu cunostintele din clasa respectiva.

Desigur, foarte, foarte multe probleme nu se pot incadra asa usor.

Atunci avem urmatoarele criterii de plasare / incadrare cu constiinta impacata in sens didactic si pedagogic:

O problema se poate atribui unei clase (de scoala sau liceu), daca este corespunzatoare maturitatii si rutinei elevilor din acea clasa (care iau 9 si 10 pe bune in catalog), daca este abordabila natural, organic cu cunostintele din acea clasa si daca solutia nu este (mult) prea lunga cu aceste metode.
Exemplu: Multe inegalitati cu legaturi ce apar la nivel de a VIII-a, de a IX-a, de a XI-a trebuie trecute prin acest test.
Cadrul natural este folosirea (la facultate) a metodei multiplicatorilor lui Lagrange, metoda generala si etablata pentru acest scop. (Dar nu neaparat cea mai scurta cale pentru inegalitati particulare.)

Problema este corect plasata la nivel de a VIII-a de exemplu daca se pot forma USOR patrate ale expresiei de minimizat / maximizat folosind legatura.

Problema este corect plasata la nivel de a IX-a de exemplu daca in una din variabile putem evidentia o functie de gradul II sau daca mai sus nu se poate vedea gruparea prea usor. Sau de exemplu daca putem aplica inegalitatea mediilor, "nedemonstrata" la scoala, dar curespunzatoare maturitatii matematice de a IX-a.

Problema este corect plasata la nivel de a XI-a de exemplu daca minimizand / maximizand in raport cu cate una din variabile putem folosi cunostintele despre derivate pentru a concluziona ceva. Sau daca putem folosi Jensen in mod evident sau nu, sau daca folosim convexitatea / concavitatea unei functii iar conditia de legatura genereaza ponderi de suma unu numai bune de Jensen, etc.

Problema propusa mai sus este departe de maturitatea si rutina unui elev de a IV-a. O problema pentru el ar fi sa vada daca numarul 1 x 2 x 3 x 4 x 5 are cifrele distincte. (Iar solutia il roaga sa inmulteasca 2x5 mai intai... dar nu-l obliga.)

Analogia presupune un nivel de abstractizare prea mare.

Calculul sumei 1+2+...+7 este facubil la nivel de a IV-a, dar nu este cadrul natural... Sunt pur si simplu prea multe cazuri sau prea multe sume de scris pe hartie. Problema este facubila, dar nu in modul ei natural, de aceea acest criteriu nu este indeplinit.

Uneori o problema nu este plasata deloc bine intr-o clasa, se rezolva la nivelul ei "pe dos" nu pe fata, dar experienta de a o rezolva cu mijloacele acelei clase poate fi atat de folositoare, incat plasarea ei la nivelul acelei clase este totusi bine venita.
Exemple pentru acest fenomen de plasare (si cel mai bine de ghidare a solutiei) sunt multele probleme de analiza (ghidate cu pasi mici) din variantele de BAC din anii trecuti. Multe erau instante ale intelegerii polinoamelor Taylor, astfel ca trecerea prin aceste probleme aduce o pajiste intreaga de jaloane in teoremele aride din facultate. Este ultimul punct in care se poate face aceasta experienta.
Alte exemple se gasesc in cartea "Probleme neelementare tratate elementar", este un moment bun de exemplu sa vedem ca seria (Euler)
1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...
converge unde converge cu metodele de a XI-a, o pregatire excelenta pentru teoria analitica a numerelor.
Pe clasa a VIII-a se rezolva sisteme de trei ecuatii cu trei necunoscute, metoda substitutiei fiind uneori de preferat. Desi astfel de sisteme se rezolva mai bine cu algoritmul lui Gauss (unu sau altul dintre ele) sau structural cu determinanti, este primul si ultimul moment in clasa a VIII-a in care putem intelege substitutia "dintr-o ecuatie in alta" la adevarata ei valoare pe cazuri simple. (Pe a IX-a avem sisteme de grad mai mare...)

Nici aici nu avem din pacate sanse de plasare.
Experienta unui elev de a IV-a castigata rezolvand aceasta problema (si facand ordine in haosul de numere ce apar) este fantastica, lui ii lipsesc insa mijloacele. Pilotarea ar trebui sa fie prezenta, dar aceasta ar fi poate nenaturala si o problema de citire si intelegere a ceea ce se citeste:

- cate numere de trei cifre nenule incep cu 1 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 2 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 3 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 4 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 5 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 6 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 7 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 8 si au cifrele distincte ?
- cate numere de trei cifre nenule incep cu 9 si au cifrele distincte ?

- cate numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 3,2,7 ?
- cate numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,2,3 ?
- cate numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2,7,8 ?
- ce se observa?

- consideram toate numerele de trei cifre nenule si distincte si le asezam gramada pe parchet. Facem ordine. Cumparam multe saculete si introducem in fiecare saculet, rand pe rand, mai intai un numar inca pe parchet, apoi toate celelalte numere ce au aceleasi cifre de asemenea.
De cate saculete avem nevoie?
Cate numere cu cifrele in ordine crescatoare (de la cifra sutelor la cea a unitatilor) se afla in fiecare saculetz?

Uneori o problema este tolerata la un anumit nivel, daca ea este plasata intr-un cadru natural specific nivelului, dar la o privire mai atenta ea nu poate fi solutionata (exact si/sau satisfacator) la acel nivel. Se asteapta de la elev o anumita "descurcare la fata locului" si un "ceva pragmatic".
Stiind acest lucru, problema este chiar bine venita la acel nivel, deoarece indica clar granitele cunoasterii pana la acel punct.
Dau un exemplu cu care se confrunta cele / cei de la A.S.E. :
Este o problema despre dobanda anuala, se formuleaza "usor" incat sa conduca la rezolvarea ecuatiei polinomiale in x:

1 + x + x^2 + ... + x^10 = ceva dat.

Elevul trebuie sa vada -probabil- ca are o functie crescatoare in partea stanga, trebuie sa incerce valori pentru x, cunoscand formula pentru partea stanga, etc.
Problema este una de numerica, se rezolva cu calculatorul cu algoritmi standard, dar elevul vede cat de complicat este sa faci asa ceva prin incercari cu un calculator de buzunar.

Nici acest criteriu nu mi se pare aplicabil, elevul trebuie sa faca "ceva", dar mi-e greu sa descriu ce...