Fie

Să se arate că există

astfel ca numerele

să fie toate iraționale.

Nu este cu siguranta solutia intentionata, nici cea pe care o recomand, dar o scriu totusi.

IR, corpul numerelor reale, este prin uitare de structura in particular si un spatiu vectorial peste corpul Q, corpul numerelor rationale. Din motive de cardinalitate dimensiunea acestui spatiu vectorial este infinita. (Este "mai mult decat numarabila".)

Din numerele date, a,b,c, impreuna cu 1 (am adaugat si 1 - si puteam sa generalizam la o familie cel mult numarabila), alegem un sistem liniar independent S. Il extindem la o baza B (nenumarabila) a lui IR peste Q si luam pe post de x un "alt" element din baza, un element din B-S.

In particular, toate elementele de forma
x + ra + sb + tc + u
cu r,s,t,u rationale
sunt nenule.



Nota: Solutia mai normala se leaga de expresiile de forma ra + sb + tc + u cu r,s,t,u rationale. Toate aceste valori formeaza o multime numarabila.

Soluția pe care o aveam în minte e prin reducere la absurd. Presupunem așadar că oricare ar fi x, cel puțin unul dintre numerele a+x, b+x, c+x este rațional.

Să considerăm atunci un x irațional și tripletele

a+x, b+x, c+x
a+2x, b+2x, c+2x
a+3x, b+3x, c+3x
a+4x, b+4x, c+4x

Din ipoteză, în fiecare linie există cel puțin un număr rațional. Evident, va exista o coloană în care se află două numere raționale, și atunci diferența lor...

Later edit
Apropo de soluția precedentă, putem folosi ideea pentru a justifica afirmația mai tare: dacă a_1, a_2,...e un șir (infinit) de numere reale, există x real astfel încât șirul a_1+x, a_2+x, ...să conțină numai numere iraționale.