Aratati ca in orice triunghi de perimetru 1 avem ;

Prima inegalitate se poate scrie:

Cum a + b + c = 1, relatia precedenta devine:

,

care poate fi scrisa astfel:

Partea dreapta devine:

La final am folosit inegalitatea mediilor

Nu s-a folosit a, b, c lungimile laturilor unui triunghi,

ci doar a, b, c strict pozitive, cu a + b + c = 1.

Eu am gandit asa pentru partea stanga:

.
Am aplicat Titu ...
Dar inegalitatea din dreapta?

[Citat] Dar inegalitatea din dreapta?

(Metoda aplicata este o variatie a metodei lui Sturm.)

La clasa a 8-a eu am gandit altfel...

[Citat] La clasa a 8-a eu am gandit altfel...

Eu chiar am cautat-o si scris-o de asa natura incat sa fie accesibila la un nivel cât se poate de mic.

Idea de lucru este urmatoarea:

(1) Plecam cu a,b,c laturile unui triunghi, scrise in ordinea marimii.
Daca b = c am terminat primul pas.
Altfel inlocuim tripletul a, b, c cu tripletul a+b-c, c, c si aratam ca la acest pas functia devine mai mare.

(2) Cazul b=c se termina repede, pentru ca toate variabilele se exprima in functie de a, avem de aratat o inegalitate simpla, polinomiala de grad doi in ariabila a din ( 0 , 1/3 ] .

O sa mai caut o rezolvare si mai simpla.
(Dar deja nu am voie sa folosesc Cebâsev sau ceva asemanator... Nivel de clasa a VIII-a...)

Va multumesc!
Asteptam si alte solutii ...
Apoi dau si eu solutia la care m-am gandit!

Eu am gandit asa:

Avem:

si celelalte

si celelalte: