Ce cifre indeplinesc relatia

? Justificati raspunsul!

Pe aici nu se trece...?

asa-i! dar ce fac daca nu am calculator...?
pentru inceput x si y sunt divizori ai lui 90...!
diferiti de 1 si 9...
unul din ei este multiplu de 3...

Bine, de mâna.

Egalitatea / ecuatia data se rescrie echivalent fara numitori:

90 (x+y) = xy ( 9x+y ) .

Luata modulo 3, rezulta ca fie x, fie y, fie 9x+y se divide cu 3.
Deci fie x, fie y ( - fie ambele cifre... ) .

Luata modulo 5, rezulta ca fie x, fie y, fie -x + y se divide cu 5.

In ultima propozitie avem o restrictie mare. Luam asadar pe cazuri.

* Unul din numere este 5. Celalalt este atunci 3 sau 6 sau 9.
Calculam atunci doar trei sume:

1/5 + 1/3 = 8/15 = 0,5(3) - deci dam de o solutie cu x=5 si y=3 .
1/5 + 1/6 = 11/30 = 0,3(6) - NU conduce nicicum la solutie.
1/5 + 1/9 = 14/45 = 0,3(1) - NU conduce nicicum la solutie.

* Nici unul din numere nu este 5.
Atunci diferenta este cinci. Avem doar trei sanse:

1/2 + 1/7 = ...
Nici o sansa, perioada este mai lunga, nici unu numitor nu se divide cu 3...
(Daca vrem explicit: ... = 9 / 14 = 0,6(428571) . )

1/3 + 1/8 = ...
Nici o sansa, inainte de perioada avem trei cifre, din cauza lui 1/8 = 0,125 care il strica pe primele trei pozitii pe 0,333333...
(Daca vrem explicit: ... = 11 / 24 = 0,458(3) . )

1/4 + 1/9 = ...
Nici o sansa, inainte de perioada avem doua cifre, din cauza lui 1/4 = 0,25 care il strica pe primele doua pozitii pe 0,111111...
(Daca vrem explicit: ... = 13 / 36 = 0,36(1) . )

DA! Eu am luat pentru y numai valorile 2,3,5,6.Valabil numai 3 care da pentru x valoarea 5.Celelalte nu convin.