http://gogeometry.com/school-college/1/p1025-triangle-double-triple-angle-online-math.htm

Se da triunghiul ABC si un punct D in interiorul lui alese intr-o configuratie foarte speciala astfel incat sa avem:

Unghiul DAC are masura x .

Unghiul BAD are masura 2x .
Unghiul CBD are masura 2x .
Unghiul BCD are masura 2x .

Unghiul ACD are masura 3x .

Sa se gaseasca unghiul x in aceste conditii.

Bonus:
Sa se regaseasca constelatia din problema intr-un poligon regulat realizat pe cercul circumscris (O) al lui ABC astfel incat A, B, C sa se afle printre varfurile poligonului regulat. Unde intersecteaza AD, BD si CD cercul (O) ?

Bonus 2:
Sa notam cu E, F si G punctele in care AD, BD si CD intersecteaza respectiv cercul (O) .
Uitam acum de D si plecam doar cu punctele A, B, C, E, F, G care sunt printre varfurile poligonului regulat.
De ce sunt concurente dreptele AE, BF, CG ?

Din pacate nu pot insera nici un fel de "poza".
Cea de mai sus este "poza care explica totul".

Pentru completare, iata si demonstratia (faptului ca aceasta este constalatia cautata).

Ducem mediatoarea lui AB.
Ea intersecteaza
AD intr-un punct, pe care il notam cu S ,
AB intr-un punct, pe care il notam cu T . (S, D si T sunt coliniare.)

Triunghiurile ASB si ATB sunt isoscele.
Deci SB imparte unghiul <( ABT ) in partile x si 2x .

Unghiul <( DSB ), exterior in S triunghiului ASD este deci de masura x+x = 2x .
Triunghiurile SDB si CDB sunt deci isoscele si congruente: latura comuna DB si unghiuri in S, B si C de masuri 2x .

Rezulta DS = DB = DC si BS = BC .

Truinghiul SBC este isoscel, deci SC este o dreapta perpendiculara pe dreapta prin B, D, T. Aceasta dreapta este mediatoarea lui SC.

Triunghiul STC este deci isoscel, TB este bisectoare a unghiului din T.
Deci cele trei unghiuri din T,
<( ATS ) si <( STB ) si <( BTC ) sunt egale si impreuna fac 180° .
Fiecare din ele are deci 60° .

Unghiul <( BTC ), exterior lui ATB, are deci masura suma celor doua unghiuri din A si B in ATB . Deci 3x + 3x = 60° .

Deci x = 10° .


Multumesc pentru poza!