Numerele pozitive a,b,c,d,e,f sunt lungimile muchiilor unui tetraedru (posibil degenerat) ca în figura de mai jos:

Aratati c? atât matricea

cât ?i minorii ei principali au determinantul pozitiv.

Bonus: reciproca este, de asemenea, adevarata.

[Citat] Bonus: reciproca este, de asemenea, adevarata.

O excelent? abordare aici: http://goo.gl/jK18DP

[Citat] [Citat] Bonus: reciproca este, de asemenea, adevarata. O excelent? abordare aici: http://goo.gl/jK18DP

Corect, insa acel articol ascunde generalitatea acestui tip de rezultat, valabil pentru orice configuratie de puncte (teorema lui Menger, referita in mod indirect in multe locuri, de exemplu

http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_geometry

Ma gandeam la o abordare pur algebrica. Daca

sunt vectorii de-a lungul muchiilor corespunzatoare lungimilor

sa notam cu

matricea ale carui coloane reprezinta coordonatele acestor vectori. Atunci

Este clar ca determinantul oricarei astfel de matrici (numita matrice Gram) este pozitiv; este egal cu

.

Reciproca este adevarata datorita criteriului lui Sylvester: matricea este semipozitiv definita, deci este de forma

. Privim coloanele matricii T ca fiind coordonatele a trei puncte in spatiu. Aceste trei puncte impreuna cu originea formeaza un tetraedru ale carui muchii au lungimile prestabilite

.

Sper ca nu am omis nimic esential.