O grupa de trei jucatori de jocuri de noroc este pusa in fata urmatorului joc.

Ei primesc in acelasi timp cate o carte de joc dintr-un pachet cu 52 de carti amestecate aleator, conteaza doar culoarea cartilor curand. (Rosie sau neagra.)
Cartile sunt puse pe frunte.
Fiecare vede cartile celorlalti doi, dar nu o poate vedea pe cea proprie.
Dupa aceasta informatie, cei trei ies pe drumuri separate si declara unul din urmatoarele lucruri la iesire:

- declara ca a avut o carte neagra pe frunte
- declara ca a avut o carte rosie pe frunte
- paseaza.

Este pusa in joc suma de 10000 $ .
Grupa de trei persoane nu castiga nimic daca cel putin unul din cei trei a declarat o culoare care nu a corespuns.
Daca nici unul din cei trei nu a declarat ceva gresit, dar cel putin unul nu a pasat (deci a ghicit ce culoare de carte a avut pe frunte), atunci grupa castiga suma pusa in joc.

Nota: Cei trei au ocazia sa discute inainte de a intra in joc, deci in particular au sansa sa stabileasca o strategie de joc.

Care este "valoarea" acestui pariu?
(Care este suma medie la care se pot astepta cei trei?)

Nota: Cei trei jucatori nu isi pot distinge fetzele, deci nu pot stabili o strategie in care jucatorul mai atletic are ca parte din strategie de exemplu ceva de forma "... daca tipul blond are pe frunte culoarea rosie eu o sa pasez ... "

Bonus: Se schimba ceva daca cei trei jucatori isi pot recunoaste fetzele?

S? not?m persoanele cu A,B,C.

O strategie care le-ar asigura 50% ?anse de câ?tig.

Persoana A anun?? o carte ro?ie, B ?i C spun pas.
Probabilitatea ca A s? aib? într-adev?r o carte ro?ie este de 50%.

O strategie care le-ar asigura 75% ?anse de câ?tig.

Fiecare dintre cei trei procedeaz? astfel: dac? celal?i doi au c?r?i de aceea?i culoare, anun?? culoarea opus?.
Dac? ceilal?i doi au c?r?i de culori diferite, spune pas.
Astfel, juc?torii câ?tig? ori de câte ori cele 3 c?r?i nu sunt de aceea?i culoare (toate trei ro?ii sau toate trei negre), ceea ce se întâmpl? în 75% din cazuri.

A?adar, suma a?teptat? este 7500$.

Da, strategia de castig este cea in care fiecare jucator

daca vede doua carti de aceasi culoare declara culoarea opusa,
altfel paseaza.

Iata cele cele opt cazuri si ce declara cei trei jucatori:
RRR ... NNN ... pierdere
RRN ... --N ... castig
RNR ... -N- ... castig
RNN ... R-- ... castig

NRR ... N-- ... castig
NRN ... -R- ... castig
NNR ... --R ... castig
NNN ... RRR ... pierdere

Deci cu exceptia celor doua cazuri de trei carti de aceeasi culoare,
RRR si NNN
cei trei castiga.

Imi cer scuze pentru modul neomogen de extragere a culorilor in enunt,
nu a fost clar destul ca se foloseste acelasi pachet pentru cele trei carti distribuite,
cele 2³ cazuri nu sunt echiprobabile,
probabilitatea de aparitie pentru NNN este de exemplu

(26.25.24) / (52.51.50)
=
24 / (2.2.51)
=
2 / 17 .

Deci probabilitatea de pierdere este 4 / 17 .
Deci probabilitatea de castig este 13 / 17 ~ 0.7647058823529411764705882353...

Valoarea jocului este deci cam 7647,05 $ .

[Citat] Da, strategia de castig este cea in care fiecare jucator daca vede doua carti de aceasi culoare declara culoarea opusa, altfel paseaza. ...

De unde ?tim c? strategia optim? nu este de tip "mixed" ? Adic? fiecare juc?tor ar putea, în func?ie de ce vede, s? decid? folosind o tabel? de probabilit??i.

Dac? not?m cu

probabilitatea de a pasa (convenim x=0), a alege ro?u (x=1) sau a alege negru (x=2) în condi?iile în care juc?torul vede r c?r?i ro?ii ?i n c?r?i negre, atunci avem de maximizat

sub ipotezele c? variabilele sunt pozitive ?i

Nu mi-e clar de ce maximumul condi?ionat are loc tocmai în unul dintre col?urile domeniului.

Intrebarea vine pe buna dreptate.
Sa vad ce pot sa fac, eu nu am mers asa de departe cu cautarea unei strategii, mi-au ajuns strategiile "simple", determinate de decizii preconcepure pentru fiecare jucator si pentru fiecare configuratie pe care o vede (intre RR, R+N = RN si NR, NN).
Incerc sa scriu cateva lucruri mai intai care nu au de-a face cu cadrul matematic, doar cu motivul pentru care am propus problema mai degraba.

Problema am gasit-o pe net, apare destul de des cu caciuli verzi si rosii de exemplu. In versiuni logice / deterministe pe de o parte, in versiuni probabiliste pe de alta.
http://en.wikibooks.org/wiki/Puzzles/Logic_puzzles/3_Hats_in_a_Circle
http://en.wikipedia.org/wiki/Hat_puzzle
http://mindyourdecisions.com/blog/2008/04/15/the-hat-puzzle-a-consulting-or-engineering-interview-brain-teaser/#.UgBDrH1CVhE
http://www.nytimes.com/2001/04/10/science/why-mathematicians-now-care-about-their-hat-color.html (3 pagini, butonul de mers la pagina urmatoare e ascuns)

M-a surprins in primul rand faptul ca nu exista nici un fel de demonstratie riguroasa. Pana ce am dat de ultimul articol, care m-a facut sa vad altfel potentialul problemei. Deoarece scriu la o carte de programare (legata de matematica) am vazut un numar finit de cazuri si programul de cautat se scrie relativ repede.
In orice caz, nu am gasit strategia generala care sa lucreze fara computer.
Apoi am vazut ca si numele lui Lenstra este legat de problema... (Alt Lenstra decat cel banuit initial...)

Cateva alte link-uri:
http://web.njit.edu/~wguo/Hat Probelm.pdf
http://www.relisoft.com/science/hats.html
http://arxiv.org/pdf/1006.1587.pdf
http://www.hpl.hp.com/research/info_theory/hats_extsum.pdf
http://mathcs.slu.edu/Public/johnson/maths/hatproblem.pdf

Problema pusa asa cum a fost pusa de mine mai sus, fara formalizare matematica, lasa loc destul de mare de modelare a notiunii de strategie. Nu am vazut alta cale mai generala de definit strategii decat cele cateva alegeri. Intrebarea este excelenta, deoarece extinde imaginea / imaginatia legata de ceea ce ar fi / ar putea fi o strategie. Introduc notatia in care ne simtim cat de cat acasa si incerc sa reduc lipsa de rigoare.

Am mai umblat putin la probabilitate, usoara asimetrie introdusa imi face analiza cazurilor mai usoara (in detrimentuk aparitiei unor numere mai urate.)

La lucru...

Nota:
Situatia este cumva nesatisfacatoare cu aceasta demonstratie.
Pe de o parte ea poate fi urmarita de catre un elev de liceu (sper).

Pe de alta, aceasta strategie este negeneralizabila. (Problema implora cumva asocierea unei probabilitati conditionate de sigma-algebra generata de "informatia mai putin granulara" a modului cum sta diagonala fata de celelalte sigma-algebre... In orice caz cu timpul am vazut ca e greu de realizat in demonstratie un astfel de procedeu judo.)