a) Fiind date 7 numere in intervalul (1,12) aratati ca exista printre ele 3 care pot fi lungimile laturilor unui triunghi.

b) Fiind date 12 numere in intervalul (1,12) aratati ca exista printre ele 3 care pot fi lungimile laturilor unui triunghi ascutitunghic.

Nota: Dupa cum a sesizat dl profesor Enescu, forma initiala a partii a) cu 10 in loc de 7 era mult prea larga.

(a) Vom scrie intervalul (1,12) ca o reuniune de trei intervale: (1,3]U(3,6]U(6,12) si apoi aplicam principiul cutiei.Pentru oricare a,b,c din intervalele mentionate are loc relatia:

[Citat] (a) Vom scrie intervalul (1,12) ca o reuniune de trei intervale: (1,3]U(3,6]U(6,12) si apoi aplicam principiul cutiei.Pentru oricare a,b,c din intervalele mentionate are loc relatia:

Si daca a=b=1.1 iar c=2.9 ?

Comentariu: Forma de pe Forumul nostru este o prelucrare a unei probleme date la concursul Putnam 2012. Intre timp am aflat ca problema a fost data intr-o forma usor diferita la editia 2012 a USA Math Olympiad (aceasta este echivalentul Olimpiadei Nationale de Matematica in Statele Unite).

[Citat] [Citat] (a) Vom scrie intervalul (1,12) ca o reuniune de trei intervale: (1,3]U(3,6]U(6,12) si apoi aplicam principiul cutiei.Pentru oricare a,b,c din intervalele mentionate are loc relatia: Si daca a=b=1.1 iar c=2.9 ?

Aveti dreptate...nu merge...

Solutia punctului a)

Fie

cele 7 numere. Presupunem ca nu exista printre ele 3 care pot fi lungimile laturilor unui triunghi. Atunci

pentru orice i=1,2,3,4,5 si mai departe

Deci

, contradictie.

Comentariu: De remarcat aparitia termenilor sirului lui Fibonacci.

Pentru punctul b) se procedeaza analog profitand de faptul ca al 12-lea termen al sirului lui Fibonacci este 144.