Intr-un paralelipiped dreptunghic diagonalele fetelor ce pleaca din acelasi varf formeaza unghiuri congruente (doua cate doua). Paralelipipedul este cub? Justificati.

Introduc notatii. Sa zicem ca varfurile cutiei sunt
A B C D ; A' B' C' D' .
Notam cu u,v,w lungimile laturilor ce pleaca din A.
Diagonalele ce pleaca din A sunt atunci la patrat:
uu+vv , vv+ww , ww+uu .
Stim ca unghiurile dintre cele trei diagonale ce pleaca din A sunt congruente.

Atunci triunghiul ACB' are trei unghiuri congruente.
De exemplu,
<(ACB')
= <(CAD') (1)
= <(CAB') (2)

(1) ...aplicand rotatia de 180 de grade fata de axa / dreapta prin centrul fetei ABCD paralela cu AA', BB', CC', DD'.
(2) ... ni s-a dat.

Deci ACB' echilateral. Egalitatea patratelor laturilor,
uu+vv = vv+ww = ww+uu
implica imediat
u = v = w .