Un soricel norocos, a ajuns la o bucatica nepazita de cascaval in forma de cub(o notam ABCDEFGH), si, flamand fiind, a mancat exact partea comuna a bucatii de cascaval cu corpul sferic de diametru [EF]. Vine bucatarul si taie in doua parti bucata ramasa, facand o taietura de profesionist (plana) prin punctele A,C si mijlocul muchiei [FG]. Si-a pastrat pentru el bucata ce continea varful B, zicandu-si ca aceasta era mai mare. Bucatarul se (ne) intreaba: oare chiar este?

Adaugat ulterior:
Care este raportul dintre bucata de cascaval lasata de bucatar si cea luata de el?(raportul volumelor)

[Citat] Un soricel norocos, a ajuns la o bucatica nepazita de cascaval in forma de cub(o notam ABCDEFGH), si, flamand fiind, a mancat exact partea comuna a bucatii de cascaval cu corpul sferic de diametru [EF]. Vine bucatarul si taie in doua parti bucata ramasa, facand o taietura de profesionist (plana) prin punctele A,C si mijlocul muchiei [FG]. Si-a pastrat pentru el bucata ce continea varful B, zicandu-si ca aceasta era mai mare. Bucatarul se (ne) intreaba: oare chiar este? PS: Bucatarul nu accepta raspunsuri obtinute in urma aruncarii monedei!

Nu este!Deoarece 2(pi)<40

[Citat] Nu este!Deoarece 2(pi)<40

Nu se intelege care este legatura intre aceasta inegalitate si raspunsul ce trebuie dat.

[Citat] [Citat] Nu este!Deoarece 2(pi)<40 Nu se intelege care este legatura intre aceasta inegalitate si raspunsul ce trebuie dat.

Bucata de cascaval pe care bucatarul o vrea pentru el nu este mai mare decat cealalta bucata mai mare.Se scade din volumul cubului un sfert din sfera si din aceasta daca se taie cum spune bucatarul rezulta un volum V1 egal cu diferenta dintre volumul trunchiului de piramida ABCMFN si a saisprezecea parte din volumul sferei unde M este centrul sferei si N este mijlocul muchiei FG a cubului iar partea din bucata de cascaval ramasa dupa taiere (o notam cu V2) este astfel incat V2>V1.Gresesc cumva?

[Citat] Se scade din volumul cubului un sfert din sfera si din aceasta daca se taie cum spune bucatarul rezulta un volum V1 egal cu diferenta dintre volumul trunchiului de piramida ABCMFN si a saisprezecea parte din volumul sferei

Nu se taie a 16-a parte din volumul sferei, ci mai mult!

E drept insa ca inegalitatea dintre volume este tot cea pe care ai spus-o.

Dar inegalitatea dintre volume este foarte mare. Raportul lor este de ....???

[Citat] [Citat] Se scade din volumul cubului un sfert din sfera si din aceasta daca se taie cum spune bucatarul rezulta un volum V1 egal cu diferenta dintre volumul trunchiului de piramida ABCMFN si a saisprezecea parte din volumul sferei Nu se taie a 16-a parte din volumul sferei, ci mai mult! E drept insa ca inegalitatea dintre volume este tot cea pe care ai spus-o.

Soricelul mananca un sfert din sfera si daca M este mijlocul laturii EF iar N este mijlocul laturii FG atunci triunghiul MFN este dreptunghic isoscel deci din patrimea de sfera se taie o patrime (AN este diagonala trapezului isoscel ACMN si triunghiul ACN face parte din acest trapez).Gresesc cumva?

[Citat] Soricelul mananca un sfert din sfera si daca M este mijlocul laturii EF iar N este mijlocul laturii FG atunci triunghiul MFN este dreptunghic isoscel deci din patrimea de sfera se taie o patrime (AN este diagonala trapezului isoscel ACMN si triunghiul ACN face parte din acest trapez).Gresesc cumva?

Gresit! Se taie mai mult din sfertul de sfera. Planul trapezului isoscel de care vorbesti nu este perpendicular pe baza cubului.



Uploaded with ImageShack.us

[Citat] [Citat] Soricelul mananca un sfert din sfera si daca M este mijlocul laturii EF iar N este mijlocul laturii FG atunci triunghiul MFN este dreptunghic isoscel deci din patrimea de sfera se taie o patrime (AN este diagonala trapezului isoscel ACMN si triunghiul ACN face parte din acest trapez).Gresesc cumva? Gresit! Se taie mai mult din sfertul de sfera. Planul trapezului isoscel de care vorbesti nu este perpendicular pe baza cubului.

Aveti dreptate!Mea culpa!

Ar fi interesant totusi de vazut cum se poate raspunde la:
Care este raportul dintre bucata de cascaval lasata de bucatar si cea luata de el?(raportul volumelor)

Se termina vacanta si cred ca voi primi raspunsul corect!

Probabil ca am gresit la calcule sau la fixarea datelor,
rog a fi (verificat si) corectat. Am tiparit in graba mare. De obicei fac greseli cand nu ma pot verifica din motive evidente...

In figura de mai sus introducem un sistem de coordonate cartezian, in care:
- N este centrul
- axa x-ilor se duce in directia NF, astfel incat F(1,0,0)
- axa y-ilor se duce in directia NKJ, astfel incat K(0,1,0) si J(0,2,0)
- axa z-urilor se duce in directia NO, astfel incat O(0,0,1) .

(Deci O NU este centrul axelor, N este punctul de care ma leg cel mai usor, centrul sferei...)

Latura cubului are deci lungimea de 2 unitati.
Voi calcula doar volumul corpului taiat.

Planul trapezului trece prin cele trei puncte
(0,0,0)
(1,0,1)
(-1,2,0)
deci are ecuatia

Trecem repede la coordonate sferice de forma

Aici unghiul a se plimba de la 0 la masura unghiului FNR la centru in planul FNR. Pentru fiecare astfel de a fixat avem o directie radiala fixata in planul FNR, care impreuna cu directia NO descrie o "felie" patrime de cerc ce parcurge sfertul nostru de sfera ca un fel de radar. Notam cu b unghiul format cu planul NFR...

Avem de exemplu:
F(1,0,0) corespunde cu r=1, a=b=0.
K(0,1,0) corespunde cu r=1, a=pi/2, b=0.
R(?,??,0) corespunde cu r=1, a=pi/2+arctg(1/2), b=0. Notez:

P(?,0,??) corespunde cu r=1, a=0, b=pi/4.

Deoarece elementul de volum se traduce cam prin

ramane sa rezolvam mai intai dupa b ceva de forma

Putem simplifica cu r, imparti cu 2cos(b) si obtinem

Deci pentru un a fixat, avem de integrat pe felia de la b=0 pana la b obtinut solutionand cele de mai sus (in functie de parametrul a). Avem deci de calculat:

Integrala dupa r si b se calculeaza usor. Ramane de calculat:

Trebuie sa ma ocup de sin compus cu arctan. Sunt echivalente (x,y unde trebuie ca in problema)...

De aici asa sau asa se fac calculele mai departe de exemplu grupand
scalar . sin(a+?) sub arctan. (Scalarul provine din normarea vectorului cu componentele (1,1/2), este deci juma de radical din cinci.)

Am dat drumul la computer...


(Voi mai continua daca nu ma corecteaza sau completeaza nimeni...)

Rezolvare:
A?a cum se vede pe figur?, pentru a afla volumul p?r?ii din corp ce con?ine vârful

, trebuie s? sc?dem din volumul trunchiului de piramid?

, volumul sectorului sferic corespunz?tor triunghiului sferic

.
Volumul trunchiului de piramid? este (diferen?? de volume de piramide):

, unde

este latura cubului.
Folosim acum formula pentru volumul sectorului sferic corespunz?tor unui triunghi sferic

ce face parte din sfera de raz?

:

. (1)

este m?sura unghiului diedru format de semiplanele ce con?in laturile

?i

, deci

.

este m?sura unghiului diedru format de semiplanele

?i

, adic?

. (Pe figur?,

).

.

. Deci

.

este m?sura unghiului diedru format de semiplanele

?i

.

Deoarece

, avem:

Cu formula (1) de mai sus, avem:

Dac? not?m cu

volumul corpului ce con?ine vârful B, avem

Corpul ce nu con?ine vârful B are volumul notat cu

?i se calculeaz? dup? formula de calcul:

Raportul cerut este

(aici am apelat, evident, la un calculator!)

Bucata luat? de buc?tar era de aproximativ 2,5844765 ori mai mic? decât cealalt?.