Daca in triunghiul ABC

sunt picioarele medianelor,

sunt picioarele bisectoarelor,

si

atunci triunghiul este echilateral? Justificati raspunsul dat.

Fie a,b,c >0 lungimile laturilor triunghiului dat.
Fara a restrange generalitatea putem presupune ca avem

Atunci egalitatea data DD' = EE' = FF' se transcrie:

In particular facem rost de

Dupa eliminarea numitorilor si descompunere in factori dam de:

Ultima paranteza nu are nici o sansa sa se anuleze, deoarece ac-bc este mai mare sau egal cu zero (de exemplu), ramane deci doar b=c. Din prima transcriere rezulta imediat si egalitatea cu a.

(Alternativ... (triunghiul dat este deci isoscel si) avem DD' = EE' = FF' = 0, deci toate medianele sunt bisectoare, etc...)

elegant! o asa rezolvare te incanta !